Pilihan biner aproksimasi

Opsi harga menggunakan metode beda hingga - Matlab Selama kursus Quantitative amp Computational Finance di dalam departemen matematika di UCL. Kami diminta untuk memberi harga 4 jenis opsi, opsi panggilan Eropa, opsi Put Eropa, dan opsi Biner dengan menggunakan metode beda hingga. Pos ini menggambarkan persamaan Black-Scholes dan kondisi batasnya, metode beda hingga dan akhirnya kode dan dan urutan keakuratannya. Untuk kode matlab di posting ini saya menggunakan sikat java, oleh karena itu komentarnya perlu diubah dari ke. Saya tahu Anda akan bertanya, mengapa saya tidak menggunakan sikat Matlab di tempat pertama, nah saya menggunakan SyntaxHighlighter dan melihat komentar ini Catatan dari penulis: daftar panjang fungsi (1300) dapat membuat browser tidak responsif saat Anda menggunakan ini. sikat. Lepaskan aku I Black-Scholes equation Dimana Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Ini adalah persamaan parabola linear persamaan diferensial parsial. Dalam hal orang Yunani. Persamaan Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut Theta - frac sigma2 S2 Gamma-r S Delta r V Final amp Boundary Conidions Kondisi akhir adalah kondisi Batas Batas di S0 dan Opsi Panggilan Sinfty Eropa Black-Scholes ditutup dari solusi Bentuk tertutup Solusi untuk persamaan Black-Scholes untuk opsi Call Eropa adalah Skuad C (S, T) N (d1) - Equad e quad N (d2) dan N adalah fungsi distribusi kumulatif dari standar normal. Dengan menggunakan persamaan paritas Call-Put, CALL-PUT S-e N (-d2) kita juga dapat membuat formula put put P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) Untuk opsi tipe biner , Juga disebut nilai tunai atau tidak atau nilai Call and Put: Metode Selisih Hingga Selisih metode finite adalah metode numerik untuk mendekati solusi terhadap persamaan diferensial dengan persamaan persamaan hingga mendekati derivatif. Perbedaan grid biasanya memiliki waktu yang sama, waktu antara node sama dengan langkah S. Langkah waktu adalah delta t dan langkah asetnya adalah delta S. Dengan demikian grid terdiri dari titik-titik pada nilai aset Sidelta S dan waktu t t-k delta t dimana 0leq ileq l dan 0leq kleq K. Aku delta S adalah perkiraan kita tak terbatas, dalam latihan ini kita akan menggunakan Sinfty 2 cdot Strike Jadi kita bisa menuliskan nilai opsi di masing-masing titik grid ini sebagai VV (idelta S, T-kdelta t) Superskrip itulah waktunya Variabel dan subskrip adalah variabel aset. Sekarang kita akan menggunakan notasi Black-Scholes Greek untuk mendekati theta, gamma dan delta Approximating Theta Dengan kata lain, kita dapat memperkirakan turunan waktu dari grid nilai kita dengan menggunakan perbedaan waktu mundur: frac (S, t) approx frac - VO (Delta t) Ini adalah perkiraan pilihan theta. Ini menggunakan nilai opsi pada dua titik dari grid V (k, i) dan V (k1, i). Pendekatan ini adalah satu urutan yang akurat dalam delta t dan kita akan lihat nanti nanti di contoh. Approximating Delta Ide yang sama dapat digunakan untuk mendekati orde pertama dalam derivatif S, delta. Dari perluasan deret nilai opsi Taylor tentang titik Sdelta S, kita memiliki delta S fr, delta S fr, Delta S3) Demikian pula, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) - O (delta S3) Mengurangkan dari yang lain, membagi Oleh 2delta S dan penataan ulang memberikan frac (S, t) frac - VO (delta S2) Gamma yang menentukan Gamma Opsi adalah turunan kedua dari pilihan terhadap pendekatan yang mendasarinya. Pendekatan alami adalah frac approx frac -2V VO ( Delta S2) Pendekatan ini juga merupakan urutan kedua yang akurat dalam delta S sebagai perkiraan Delta dan akan menunjukkan ini juga nanti. Metode Difersi-Diferensial Explicit Perhitungan orang Yunani menggunakan perbedaan terbelakang Sekarang kita pasang perkiraan Yunani kita sebelumnya ke dalam persamaan Black-Scholes frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Rearranging V alpha V beta V gamma V dengan alpha frac sigma2 i2 delta t - frac ir delta t beta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac sigma2 i2 delta t frac ir delta t Persamaan beda hingga berlaku di mana-mana di dalam Grid yang tidak valid pada batas-batasnya. Oleh karena itu kita perlu mendefinisikan batasan tergantung pada jenis opsi yang kita hargai. Akhir amp Kondisi batas Untuk oportunasi Eropa di t T (kadaluwarsa) i I Payoff V (S, t) max (SE, 0) Jadi V max (i delta SE, 0) di mana 0leq i leq l Probabilitas S jatuh Di bawah E menjadi tidak berarti, juga perubahan kecil pada S karena tidak mempengaruhi harga opsi, maka Gammafrac 0 (Untuk opsi Panggil Eropa) Gammaapproxfrac -2V V 0 Ini adalah kondisi batas atas V (alpha - gamma) V (beta 2gamma) V) Akhirnya untuk kriteria stabilitas kita akan memilih delta t leq frac. III Kode dan Hasil Berikut adalah implementasi matlab dari metode beda hingga. Kami menggunakan parameter tetap yang sama yaitu volatilitas 0,2, Interest Rate 0.05, Strike Price 100, harga saat ini adalah nilai diskon dari strike price S100 e. Untuk setiap jenis opsi, kami memvariasikan langkah waktu dan harga aset untuk menunjukkan bahwa metode ini adalah pesanan pertama dan urutan kedua akurat di delta t dan delta S pada gilirannya. Kami juga defnie alpha, beta dan gamma eksternal untuk kejelasan. Kode fungsi alfa Kode fungsi beta Kode fungsi Gamma Kami juga telah menolak hasilnya untuk solusi bentuk tertutup untuk pilihan Panggilan dan Putaran Eropa dan juga untuk pilihan biner. Solusi bentuk tertutup untuk opsi Panggil Eropa Solusi bentuk tertutup untuk opsi Put Eropa Opsi bentuk tertutup untuk opsi Panggil Eropa (Tunai atau tidak) Solusi bentuk tertutup untuk opsi Put Eropa (Kas atau Tidak Ada) Di sini kita menentukan nilai opsi Berfungsi untuk European Call dan put option dengan kondisi payoff masing-masing max (SE, 0) dan mad (ES, 0). Kami melihat bahwa kodenya serupa hanya fungsi hasil dapat dibalik tergantung pada jenis pilihan yang saya sebut atau put. Opsi Nilai Fungsi Fungsi nilai opsi biner Pada gambar di bawah ini kita menampilkan nilai opsi panggilan dengan metode beda hingga eksplisit. Berikut ini kami akan menunjukkan bahwa metode finite-difference adalah first order dan order kedua yang akurat pada delta t dan delta S pada gilirannya dengan merencanakan Error terhadap delta t dan delta S2 di kedua plot yang kita perkirakan memiliki plot linier. Nilai opsi Panggil Eropa Error Vs. Delta t Nilai opsi Call Eropa Error Vs. Delta S2 Eropa Beri opsi opsi Error Vs. Delta t Opsi Put Option Eropa error Vs. Delta S2 Merencanakan kesalahan dalam persentase terhadap delta t dan delta S2 untuk panggilan Eropa dan menempatkan opsi untuk kedua fungsi imbal hasil kontinu dan biner, kami dengan jelas melihat bahwa kesalahan tersebut bersifat linear pada delta t dan delta S2. Semakin kecil langkah-langkahnya dalam delta t dan delta S2, metode finite-difference yang tepat hanyalah datang dengan perhitungan waktu yang mahal. Paul Wilmott Memperkenalkan Kuantitatif Keuangan, Edisi Kedua, oleh Paul P. WilmottLet rumus Black-Scholes didefinisikan sebagai fungsi f (S, X, T, r, v). Saya penasaran dengan fungsi yang secara komputasi lebih sederhana daripada Black-Scholes yang menghasilkan hasil yang mendekati f untuk seperangkat masukan yang diberikan S, X, T, r, v. Saya mengerti bahwa komputasi sederhana tidak didefinisikan dengan baik. Tapi maksud saya lebih sederhana dari segi jumlah istilah yang digunakan dalam fungsi. Atau lebih spesifik lagi, jumlah langkah komputasi yang berbeda yang perlu diselesaikan untuk sampai pada keluaran Black-Scholes. Jelas Black-Scholes secara komputasi sederhana seperti sekarang, tapi saya siap untuk menukar beberapa akurasi untuk fungsi yang lebih sederhana yang akan memberi hasil yang mendekati BampS. Apakah ada perkiraan sederhana lainnya yang diajukan pada 10 Mei 11 di 15:44 Ini hanya untuk memperluas sedikit jawaban vonjds. Rumus perkiraan yang disebutkan oleh vonjd adalah karena Brenner dan Subrahmanyam (Sebuah solusi sederhana untuk menghitung Deviasi Standar Tersirat, Jurnal Analis Keuangan (1988), hlm. 80-83). Saya tidak memiliki link gratis ke kertas jadi biarkan saya memberikan derivasi cepat dan kotor di sini. Untuk opsi call at-the-money, kita punya SKe. Memasukkan ini ke dalam formula Black-Scholes standar C (S, t) N (d1) SN (d2) Ke, kita mendapatkan C (S, t) leftNleft (frac sigmasqrt kanan) - Nleft (-frac sigmasqrt right) rightS. Qquadqquad (1) Sekarang, rumus Taylors menyiratkan untuk x kecil yang N (x) N (0) N (0) xN (0) frac O (x3).qquadqquadqquadqquad (2) Menggabungkan (1) dan (2), kita akan Dapatkan beberapa pembatalan yang jelas bahwa C (S, t) Sleft (N (0) sigmasqrt O (sigma3sqrt) benar). Tapi N (0) frac 0.39894228. Jadi akhirnya kita punya, untuk sigmasqrt kecil, yaitu C (S, t) kira-kira 0.4Ssigmasqrt. Formula yang dimodifikasi C (S, t) kira-kira 0.4Se sigmasqrt memberikan perkiraan yang sedikit lebih baik. Jawab 10 Mei pukul 19:37 Formula Black-Scholes normal-vol mengarah cepat ke pendekatan serupa dengan yang dijelaskan oleh olaker. Klik di sini untuk kertas yang berisi derivasi formal dari panggilan dan menetapkan harga berdasarkan model normal (yaitu gerakan coklat daripada gerakan brownian geometris). Rumus untuk harga panggilan adalah: BTW, saya bekerja dalam pendapatan tetap, jadi saya selalu cenderung menulis versi yang sesuai untuk sapuan. Pilihan yang ATM Anda bisa lihat bahwa untuk FK ini menjadi teks frac kira-kira 0,4, sigma, sqrt. Pilihan yang bukan ATM Saya baru saja menemukan generalisasi dari formula ini yang bekerja sangat baik untuk pemogokan yang tidak pada uang juga. Lihat blog saya untuk diskusi yang lebih panjang, berikut adalah poin utamanya. Dekomposisi standar untuk suatu pilihan adalah: Dalam rumus normal Black-Scholes di atas, jika Anda menyelidiki istilah (FK) N (d1) dalam spreadsheet, Anda akan melihat bahwa untuk tingkat volatilitas dan kematangan yang kecil (coba, misalnya, sigma0 .0025, Maturity1) sebenarnya cukup dekat dengan max (0, FK) yang merupakan nilai intrinsik dari panggilan. Akibatnya, formula normal BS hampir: Namun, jika Anda membandingkan perkiraan ini dengan rumus BS yang sebenarnya dalam spreadsheet, Anda akan melihat bahwa di sekitar pemogokan (terutama untuk nilai sigma yang lebih besar), hal itu memberi nilai yang terlalu besar untuk panggilan: pada dasarnya Waktu teks singkat e d12, terlalu besar bila d1 tidak nol dan kecil. Ini memberi tahu kita bahwa perbedaan antara (F-K) N (d1) dan max (0, F-K) menjadi penting di dekat pemogokan. Seperti yang saya katakan, lihat di spreadsheet. Meskipun demikian, formula Simple-but-wrong untuk Call Price ini mengarahkan kita ke arah yang benar: ini menunjukkan bahwa nilai waktu dari opsi harus ditulis dalam bentuk harga opsi ATM. Inilah solusinya. Saya menyebutnya The Hardy Decomposition: Sejauh ini hanya penataan ulang formula Black-Scholes asli normal. Hasil kuncinya adalah bahwa teks tersebut diperkirakan dengan baik oleh sebuah ekspresi sederhana: Jadi Anda dapat menggunakan yang berikut ini sebagai perkiraan yang cukup bagus untuk harga panggilan: Hasil yang sama berlaku untuk opsi put. Anda dapat menggunakan Dekomposisi Hardy ini untuk menghitung harga opsi di kepala Anda - Anda hanya perlu mengingat beberapa nilai: Seperti kata orang lain, Anda perlu memperkirakan kumulatifnya. Masalahnya adalah bahwa di manapun Anda melihat Anda akan menemukan bahwa untuk memperkirakannya Anda perlu menggunakan fungsi eksponensial atau trigonometri yang juga sangat mahal. Yang bisa Anda lakukan adalah membangun spline kubik dengan nilai pra-tembolok untuk kumulatif dan menghitung nilainya pada titik lain x dengan interpolasi (kubik). Itu akan membuatnya lebih cepat. Mungkin Anda juga akan memanggil metode ini dengan serangkaian nilai yang terurut sehingga Anda dapat menghindari melakukan pencarian biner untuk menemukan interval tersebut. Anda akan memiliki indeks cache untuk interval terakhir yang ada dan melihat-lihat yang satu itu. Pilihan biner, atau dikenal sebagai pilihan Digital atau hanya Binari atau Digitals, adalah salah satu jenis pilihan primitif. Panggilan digital terkadang disebut Digicalls dan digital menempatkan Digiputs. Mereka memiliki profil payoff yang sama dengan fungsi Heaviside mulai teks amp 1 amp teks quad S gt K. 0 teks teks quad amp 1 amp teks quad S lt K. 0 quad text end Penskalaan finansial biasanya dilakukan melalui nilai notional perdagangan. Misalnya satu juta notional digicall, setara dengan membeli 1 juta 1 digicalls. Investor Khas Investor di, misalnya, panggilan biner mengharapkan kenaikan harga yang mendasar, namun karena pembayarannya tidak akan pernah bisa melampaui 1, harga turunannya jauh lebih murah daripada panggilan standar yang ditetapkan pada pemogokan yang sama. Demikian pula, investor biner menempatkan akan mengharapkan penurunan harga yang mendasar. Biasanya digitals digunakan bersamaan dengan derivatif eksotis untuk mengindikasikan arus kas yang terjadi tergantung pada beberapa tingkat harga. Pendekatan Satu dapat mendekati sebuah digicall melalui penyebaran panggilan, satu panggilan tepat di bawah pemogokan dan panggilan singkat tepat di atas pemogokan. Dalam batas, karena jarak di atas dan di bawah strike cenderung nol, aproksimasi menjadi tepat. PutCall Parity Paritas putcall untuk binari sangat sederhana. Jika Anda memegang digicall dan digiput, berarti Anda mendapatkan 1 terlepas dari tingkat yang mendasarinya, jadi hubungan paritas berikut ini memiliki teks teks e Referensi Paul Wilmott di Quantitative Finance, vol 1, pub. 2006, John Wiley and Sons.